निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \left(x e^{x} + \sin \frac{\pi x}{4}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \left(x e^{x} + \sin \frac{\pi x}{4}\right) dx$.
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{0}^{1} x e^{x} dx + \int_{0}^{1} \sin \frac{\pi x}{4} dx$.
पहले भाग के लिए,हम खंडशः समाकलन का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v du$.
माना $u = x$ और $dv = e^{x} dx$. तब $du = dx$ और $v = e^{x}$.
$\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x}$.
दूसरे भाग के लिए:
$\int \sin \frac{\pi x}{4} dx = -\frac{4}{\pi} \cos \frac{\pi x}{4}$.
इन दोनों को मिलाने पर,प्रति-अवकलज $F(x)$ प्राप्त होता है:
$F(x) = x e^{x} - e^{x} - \frac{4}{\pi} \cos \frac{\pi x}{4}$.
$0$ से $1$ तक की सीमाएं लागू करने पर:
$I = F(1) - F(0) = \left(1 \cdot e^{1} - e^{1} - \frac{4}{\pi} \cos \frac{\pi}{4}\right) - \left(0 \cdot e^{0} - e^{0} - \frac{4}{\pi} \cos 0\right)$.
$I = \left(e - e - \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(0 - 1 - \frac{4}{\pi} \cdot 1\right)$.
$I = -\frac{2\sqrt{2}}{\pi} + 1 + \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{4 - 2\sqrt{2}}{\pi}$.